数の体系と基数変換・2進数の計算

1. 基数（radix）とは

○各桁の重みは基数のべき乗

○１０進数では

１	２	３	４	．	５	６
１０００の位	１００の位	１０の位	１の位	小数点	０．１の位	０．０１の位
１０３	１０２	１０１	１００		１０−１	１０−２

　

○デジタルコンピュータの世界では　　基数＝２　何故か？

○デジタルコンピュータは半導体と呼ばれる部品で作られており、トランジスタを組み合わせて演算を行うデジタル回路が作られている。そこで、高い電圧（たとえば３V）と低い電圧（たとえば０V）を用いて’１’と’０’を表している。

○すなわち、’１’と’０’しかない　→　2進数を使うしかない！

　

２．２進数（binary number）

○基数＝２、’０’、’１’の2個の数字を用い、各桁の重みは（１の位、2の位、４の位．．．）となる。

１	０	１	０	１
１６の位	８の位	４の位	２の位	１の位
２４	２３	２２	２１	２０

○2進数を１０進数に変換するのは、

１×１６＋０×８＋１×４＋０×２＋１×１＝２１_（１０）

○その外に、8進数、１６進数をコンピュータの世界ではよく使う。何故か？

○3進数、5進数は使わない。何故か？

○2進数の各桁のことをBIT（ビット）と呼ぶ
1ビットの数といえば．．．’０’もしくは’１’
2ビットの数といえば．．．”００”、”０１”、”１０”もしくは”１１”

○特に8ビットのことをBYTE（バイト）と呼ぶ
”０１００１１００”は8ビットすなわち、1バイトの数

○WORD（ワード）というのも使うが、マシンによって16ビット、32ビット、６４ビット等をさす（決まったサイズではなく、そのマシンの標準の言葉のサイズ）

○MSBとLSB（よく使う言葉）
MSBとは最上位ビット（MOST　SIGNIFICANT　BIT）
LSBとは最下位ビット（LEAST SIGNIFICANT BIT）

○8ビットの数を”a₇,a₆,a₅,a₄,a₃,a₂,a₁,a₀"とすると、MSBは　a₇　,LSBは　a₀　。

３．８進数（octal number）と１６進数（hexadecimal number）

○８進数と１６進数：　2進数で表記すると桁数が多数必要でわかりにくいので、8進数や16進数を用いる。

○8進数：　０，１，２，３，４，５，６，７の数字を用い、2進数の3桁に対応

３２ビットの数　００　００１　０１０　０１０　１１１　０００　００１　００１　１０１　００１　１１１

2進数	００	００１	０１０	０１０	１１１	０００	００１	００１	１０１	００１	１１１
8進数	０	１	２	２	７	０	１	１	５	１	７

• １６進数：　０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，A，B，C，D，E，Fの数字・文字を用いて、０から１５に数を示す。

３２ビットの数　００００　１０１０　０１０１　１１００　０００１　００１１　０１００　１１１１

2進数	００００	１０１０	０１０１	１１００	０００１	００１１	０１００	１１１１
16進数	０	A	５	C	１	３	４	F

○　Cプログラミングの例　（１０進数の１６を変数aに代入する）

a=16;  /*  10進数での代入　*/

a=0x10;  /* 16進数での代入　*/

a=020;   /* ８進数での代入　あまり使わないかな */

　

４．１０進数との変換

○教科書参照

５．2進数の加算

○教科書参照

○この筆算がそのまま、回路で実現できる。

６．２進数の減算

○教科書参照

○実際の回路では引く数の符号を反転して、加算を行う。

７．２の補数

○教科書ではちゃんとかかれていないが、事前に約束が必要

○ある２進数は符号無し数か？それとも符号付数か？

• 符号無し数：　
• 符号有りの数：　ではMSBが符号を示す。’１’ならば負、’０’ならば正
• また、表せる範囲がビット幅で限定される。

○２の補数を作ること＝符号を反転すること

3ビットの符号あり数			１０進数では
０	１	１	３
０	１	０	２
０	０	１	１
０	０	０	０
１	１	１	−１
１	１	０	−２
１	０	１	−３
１	０	０	−４

７．乗算

○やってみればわかるが、多数の加算で計算できる。

宿題２　学籍番号　名前　日付　を書いて　提出すること。

セクション２−１、２−２の演習問題すべて

以上